Máximos y mínimos de una funcion de 2 variables

 Máximos y mínimos de una función de 2 variables

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos). Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en  si la coordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

En la siguiente gráfica, la función tiene su máximo absoluto en 

 

Mínimo absoluto

 Una función tiene su mínimo absoluto en  si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

En la siguiente gráfica, la función tiene su mínimo absoluto en 

 

Máximo y mínimo relativo

Una función  tiene un máximo relativo en , si  es mayor o igual que los puntos próximos a .

Una función  tiene un mínimo relativo en , si  es menor o igual que los puntos próximos a .

Cálculo de máximos y mínimos relativos 

El siguiente método es conocido como el criterio de la segunda derivada

 1Calculamos la primera y segunda derivada de la función .

 2Igualamos la primera derivada a cero y despejamos la variable . Este resultado es conocido como puntos críticos.

 3Sustituimos los puntos críticos en la segunda derivada:

 Si el resultado es positivo, entonces decimos que la función posee un mínimo en el punto crítico.

 Si el resultado es negativo, entonces decimos que la función posee un máximo en el punto crítico.

 Si el resultado es cero, entonces no podemos concluir y se tiene que emplear el criterio de la primera derivada.

 4Sustituimos los puntos críticos donde la función alcanza su máximo o mínimo relativo en la función original. El resultado obtenido es conocido como valor crítico.

 Ejemplo de cálculo de máximo y mínimo de una función

 Encuentra los extremos relativos de 

 1Calculamos la primera y segunda derivada de la función .

 

 

 2Buscamos los puntos críticos

 

 3Sustituimos los puntos críticos en la segunda derivada:

 

 

 Concluimos que la función posee un mínimo en .

 Concluimos que la función posee un máximo en .

 4Calculamos los valores críticos

 

 

 

Picos

• Al punto $(x_0, y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis por debajo de un pico en el espacio de entrada (que en este caso se refiere al plano $xy$x, y) se le llama un punto máximo local.
• La salida de una función en un punto máximo local, que se puede visualizar como la altura de la gráfica por encima de ese punto, es en sí el máximo local.

La palabra "local" se utiliza para distinguirlo del máximo global de la función, que es el único mayor valor que la función puede alcanzar.

Puntos silla

Considera la función $f(x, y) = x^2 - y^2$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, y, squared. Hagamos algunas observaciones de lo que sucede alrededor del origen $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.

• Ambas derivadas son $0$0 en este punto:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 - y^2) &= 2x \to 2(\blueE{0}) = 0 \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 - \redE{y}^2) &= -2y \to -2(\redE{0}) = 0 \end{aligned}$

Por lo tanto $(\blueE{0}, \redE{0})$left parenthesis, start color #0c7f99, 0, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 0, end color #bc2612, right parenthesis es un punto crítico.

• Cuando te mueves en la dirección $x$x alrededor de este punto, la función se ve como $f(x, 0) = x^2 - 0^2 = x^2$f, left parenthesis, x, comma, 0, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 0, squared, equals, x, squared. La función de una sola variable $f(x) = x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared tiene un mínimo local en $x=0$x, equals, 0.
• Cuando te mueves en la dirección $y$y alrededor de este punto, la función se ve como$f(0, y) = 0^2 - y^2 = -y^2$f, left parenthesis, 0, comma, y, right parenthesis, equals, 0, squared, minus, y, squared, equals, minus, y, squared. La función de una sola variable $f(y) = -y^2$f, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, minus, y, squared tiene un máximo local en $y = 0$y, equals, 0.

En otras palabras, las direcciones $x$x y $y$y nos dan información contradictoria con respecto a si en este valor de entrada ocurre un máximo o un mínimo. Así que, aun cuando el punto $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis es un punto crítico y no es un punto de inflexión, ¡no puede ser ni un máximo ni un mínimo local!

Ejemplos

Ejercicio 1

Calculamos los puntos críticos

Calculamos las derivadas parciales de $f$:

Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, igualamos a 0 las derivadas parciales para obtener un sistema de ecuaciones:

Resolvemos el sistema y obtenemos el punto crítico

Calculamos el Hessiano y aplicamos el teorema

Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto:

Por tanto, el Hessiano en dicho punto es

Con lo que, aplicando el teorema, el punto es un mínimo relativo.

Ejercicio 2

Buscamos los puntos críticos

Las derivadas parciales son

Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, queremos que

Tenemos un único punto crítico:

Aplicamos el teorema

Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto:

El Hessiano en dicho punto es

Y no podemos aplicar el teorema.

Notemos que la función nunca es negativa por ser la suma de potencias pares, por tanto, el punto crítico debe ser donde se anula la función y, por tanto, se trata de un mínimo absoluto.

  

Ejercicio 3

Buscamos los puntos críticos

Las derivadas parciales son

Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, queremos que

Tenemos cuatro puntos críticos:

Las derivadas parciales segundas son

El Hessiano en cada punto es

Para determinar el último punto crítico necesitamos saber el signo de

Por tanto, aplicando el teorema, se trata de un máximo relativo.