Calculo Multivariable: Integrales dobles

👉👉 Integrales dobles y cambios de las regiones

Sea f(x,y) una función continua para los valores de x,y que pertenecen a R. Para un y fijo obtenemos la función F(x)=f(x,y) que también es continua y por tanto integrable en [a,b], por tanto:

La función obtenida, G(y), es continua y por tanto integrable en [c,d] de tal forma que podemos definir la integral doble de la función f(x,y) el rectángulo R=[a,b]x[c,d] como:

Es decir, realizar una integral doble consiste en realizar dos integrales simultáneas, una en primer lugar en función de x, considerando que la y es una constante; y en segundo lugar en función de y (en este caso ya no habrá ningún termino con x).

Ejemplo: Calcular la integral doble ∫∫xy dxdy en el rectángulo R= [0,1]x[0,2].

En primer lugar escribimos la integral que nos piden, colocando en su lugar los límites respecto a los cuales tenemos que integrar:

Resolvemos la integral que está en el paréntesis, es decir, la integral respecto de x donde y es una constante:

Por último, el resultado anterior lo integramos respecto de y.

NTERPRETACIÓN

El valor que obtenemos al resolver la integral es un número real que se utiliza para determinar el valor del volumen del sólido situado de forma vertical sobre el rectángulo R del plano OXY bajo la superficie z=f(x,y) siempre y cuando f(x,y)≥0.

PROPIEDADES:

1. Se cumple la propiedad de linealidad:

– Si hay un escalar multiplicando dentro de la integral se puede sacar factor común:

– La integral de la suma de dos funciones dobles f(x,y) + g(x,y) es igual a la suma de la integral doble de cada una de ellas:

2. Cumplen la propiedad de la monotonía:

Si f(x,y)≤g(x,y) para todos los valores de (x,y) pertenecientes a R, entonces ∫∫f(x,y)dxdy ≤ ∫∫g(x,y)dxdy.

3. Si el recinto R se puede dividir en dos recintos disjuntos R1 y R2, es decir, tal que R1 U R2 = R y cuya intersección sea vacía o lo que es lo mismo que R1∩R2 no tenga área, entonces:

4. El área del recinto R=[a,b]x[c,d] se puede calcular mediante la siguiente integral:

5. Podemos intercambiar los límites de integración siempre y cuando cambiamos también el orden de las variables respecto a las que estamos integrando: