Integrales multiples

 Integrales triples

La definición de una integral triple es de alta similitud con la definición de las dobles integrales. Considera una región continua de la función y a partir de ésta en vez de generar o dividir en cuadros planos, se generan cubos, es decir cuadros con espesor.

 

Definición:

Siendo una integral iterada podemos definirla con los siguientes límites e integrandos. También se puede destacar que el orden de los diferenciales puede ser intercambiado, pero al mover estos diferenciales se tienen que mover los respectivos límites.

Volúmenes:

Para obtener el volumen de un sólido representado por una función se pueden utilizar tanto integrales dobles como triples. En las dobles se sitúa la función en el integrando, en cambio, en la triple el integrando está libre de funciones, sólo se localiza ahí el diferencial del volumen. 

Cilíndricas:

Muchas regiones sólidas comunes como esferas, elipsoides, conos y paraboloides pueden dar lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. De hecho, fue precisamente esta dificultad la que llevó a la introducción de sistemas de coordenadas no rectangulares. En esta sección se aprenderá a usar coordenadas cilíndricas y esféricas para evaluar integrales triples.

Esféricas:

Las integrales triples que involucran esferas o conos son a menudo más fáciles de calcular mediante la conversión a coordenadas esféricas.

Integrales dobles

👉👉 Integrales dobles y cambios de las regiones 

Sea f(x,y) una función continua para los valores de x,y que pertenecen a R. Para un y fijo obtenemos la función F(x)=f(x,y) que también es continua y por tanto integrable en [a,b], por tanto:

La función obtenida, G(y), es continua y por tanto integrable en [c,d] de tal forma que podemos definir la integral doble de la función f(x,y) el rectángulo R=[a,b]x[c,d] como:

Es decir, realizar una integral doble consiste en realizar dos integrales simultáneas, una en primer lugar en función de x, considerando que la y es una constante; y en segundo lugar en función de y (en este caso ya no habrá ningún termino con x).

Ejemplo: Calcular la integral doble ∫∫xy dxdy en el rectángulo R= [0,1]x[0,2].

En primer lugar escribimos la integral que nos piden, colocando en su lugar los límites respecto a los cuales tenemos que integrar:

Resolvemos la integral que está en el paréntesis, es decir, la integral respecto de x donde y es una constante:

Por último, el resultado anterior lo integramos respecto de y.

NTERPRETACIÓN

El valor que obtenemos al resolver la integral es un número real que se utiliza para determinar el valor del volumen del sólido situado de forma vertical sobre el rectángulo R del plano OXY bajo la superficie z=f(x,y) siempre y cuando f(x,y)≥0.

PROPIEDADES:

1. Se cumple la propiedad de linealidad:

– Si hay un escalar multiplicando dentro de la integral se puede sacar factor común:

– La integral de la suma de dos funciones dobles f(x,y) + g(x,y) es igual a la suma de la integral doble de cada una de ellas:

2. Cumplen la propiedad de la monotonía:

Si f(x,y)≤g(x,y) para todos los valores de (x,y) pertenecientes a R, entonces ∫∫f(x,y)dxdy ≤ ∫∫g(x,y)dxdy.

3. Si el recinto R se puede dividir en dos recintos disjuntos R1 y R2, es decir, tal que R1 U R2 = R y cuya intersección sea vacía o lo que es lo mismo que R1∩R2 no tenga área, entonces:

4. El área del recinto R=[a,b]x[c,d] se puede calcular mediante la siguiente integral:

5. Podemos intercambiar los límites de integración siempre y cuando cambiamos también el orden de las variables respecto a las que estamos integrando:

6. La función del valor absoluto, |f(x,y)| también es integrable y verifica que:

Ejemplo video

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Teorema de fubini

Ejemplos

Máximos y mínimos de una funcion de 2 variables

 Máximos y mínimos de una función de 2 variables

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos). Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función.

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en  si la coordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

En la siguiente gráfica, la función tiene su máximo absoluto en 

 

Mínimo absoluto

 Una función tiene su mínimo absoluto en  si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

En la siguiente gráfica, la función tiene su mínimo absoluto en 

 

Máximo y mínimo relativo

Una función  tiene un máximo relativo en , si  es mayor o igual que los puntos próximos a .

Una función  tiene un mínimo relativo en , si  es menor o igual que los puntos próximos a .

Cálculo de máximos y mínimos relativos 

El siguiente método es conocido como el criterio de la segunda derivada

 1Calculamos la primera y segunda derivada de la función .

 2Igualamos la primera derivada a cero y despejamos la variable . Este resultado es conocido como puntos críticos.

 3Sustituimos los puntos críticos en la segunda derivada:

 Si el resultado es positivo, entonces decimos que la función posee un mínimo en el punto crítico.

 Si el resultado es negativo, entonces decimos que la función posee un máximo en el punto crítico.

 Si el resultado es cero, entonces no podemos concluir y se tiene que emplear el criterio de la primera derivada.

 4Sustituimos los puntos críticos donde la función alcanza su máximo o mínimo relativo en la función original. El resultado obtenido es conocido como valor crítico.

 Ejemplo de cálculo de máximo y mínimo de una función

 Encuentra los extremos relativos de 

 1Calculamos la primera y segunda derivada de la función .

 

 

 2Buscamos los puntos críticos

 

 3Sustituimos los puntos críticos en la segunda derivada:

 

 

 Concluimos que la función posee un mínimo en .

 Concluimos que la función posee un máximo en .

 4Calculamos los valores críticos

 

 

 

Picos

• Al punto $(x_0, y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis por debajo de un pico en el espacio de entrada (que en este caso se refiere al plano $xy$x, y) se le llama un punto máximo local.
• La salida de una función en un punto máximo local, que se puede visualizar como la altura de la gráfica por encima de ese punto, es en sí el máximo local.

La palabra "local" se utiliza para distinguirlo del máximo global de la función, que es el único mayor valor que la función puede alcanzar.

Puntos silla

Considera la función $f(x, y) = x^2 - y^2$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, y, squared. Hagamos algunas observaciones de lo que sucede alrededor del origen $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.

• Ambas derivadas son $0$0 en este punto:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 - y^2) &= 2x \to 2(\blueE{0}) = 0 \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 - \redE{y}^2) &= -2y \to -2(\redE{0}) = 0 \end{aligned}$

Por lo tanto $(\blueE{0}, \redE{0})$left parenthesis, start color #0c7f99, 0, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 0, end color #bc2612, right parenthesis es un punto crítico.

• Cuando te mueves en la dirección $x$x alrededor de este punto, la función se ve como $f(x, 0) = x^2 - 0^2 = x^2$f, left parenthesis, x, comma, 0, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 0, squared, equals, x, squared. La función de una sola variable $f(x) = x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared tiene un mínimo local en $x=0$x, equals, 0.
• Cuando te mueves en la dirección $y$y alrededor de este punto, la función se ve como$f(0, y) = 0^2 - y^2 = -y^2$f, left parenthesis, 0, comma, y, right parenthesis, equals, 0, squared, minus, y, squared, equals, minus, y, squared. La función de una sola variable $f(y) = -y^2$f, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, minus, y, squared tiene un máximo local en $y = 0$y, equals, 0.

En otras palabras, las direcciones $x$x y $y$y nos dan información contradictoria con respecto a si en este valor de entrada ocurre un máximo o un mínimo. Así que, aun cuando el punto $(0, 0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis es un punto crítico y no es un punto de inflexión, ¡no puede ser ni un máximo ni un mínimo local!

Ejemplos

Ejercicio 1

Calculamos los puntos críticos

Calculamos las derivadas parciales de $f$:

Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, igualamos a 0 las derivadas parciales para obtener un sistema de ecuaciones:

Resolvemos el sistema y obtenemos el punto crítico

Calculamos el Hessiano y aplicamos el teorema

Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto:

Por tanto, el Hessiano en dicho punto es

Con lo que, aplicando el teorema, el punto es un mínimo relativo.

Ejercicio 2

Buscamos los puntos críticos

Las derivadas parciales son

Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, queremos que

Tenemos un único punto crítico:

Aplicamos el teorema

Evaluamos las derivadas parciales segundas en dicho punto:

El Hessiano en dicho punto es

Y no podemos aplicar el teorema.

Notemos que la función nunca es negativa por ser la suma de potencias pares, por tanto, el punto crítico debe ser donde se anula la función y, por tanto, se trata de un mínimo absoluto.

  

Ejercicio 3

Buscamos los puntos críticos

Las derivadas parciales son

Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Por tanto, queremos que

Tenemos cuatro puntos críticos:

Las derivadas parciales segundas son

El Hessiano en cada punto es

Para determinar el último punto crítico necesitamos saber el signo de

Por tanto, aplicando el teorema, se trata de un máximo relativo.