Derivadas parciales

 Derivadas parciales

La derivada es un concepto propio del cálculo. La definición textual más precisa es la pendiente de la recta tangente a la función dada. Esto ocurre en una función común de dos variables. 

En funciones de varias variables, la definición también es aplicable, pero con ciertos cambios. Dichos cambios tienen que ver con el hecho de que, la derivada es una tasa de cambio de la función respecto a una variable; si una función tiene más de una variable independiente, ¿respecto a cuál de ellas cambia la función? Para resolver esta pregunta se creó la teoría de las derivadas parciales. 

Sea z = f(x,y) una función continua y con un gráfico genérico. La forma puede ser cualquiera. Teniendo un punto genérico  P (x, y, z), existen una cantidad infinita de rectas tangentes a dicho punto. Lo único que cambia es la dirección de cada una de ellas. Sin embargo, en una función de varias variables, como la anterior, el crecimiento o decremento no va respecto a un eje diagonal o con cualquier orientación, sino solo hacia el eje x o al eje y. 

Lo anterior deja claro que existen dos tasas de crecimiento; una el dirección del eje x y otra en la dirección del eje y. El figura anterior muestra la gráfica de una función con forma de paraboloide que abre hacia el eje z negativo. En el gráfico de la izquierda se aprecia una parábola roja que recorre a la superficie sobre la cual se posa una recta tangente. Dicha parábola apunta hacia el eje x. En el gráfico de la derecha, en cambio, la parábola va en dirección del eje y, así como una nueva recta tangente. Ambas parábolas significan una de las muchas trayectorias de puntos que una recta tangente puede recorrer sobre la superficie, pero siempre en dirección de algún eje. 

Gráficamente, lo anterior da una explicación a la derivada en funciones de varias variables. Para resumir, existe una cambio en la función respecto a cada una de las variables de las cuales depende. A cada cambio se le conoce como derivada parcial, y es la pendiente de la recta tangente a un punto sobre la superficie de la función. Se escriben con el siguiente símbolo:

Las derivadas parciales por definición se escriben como un límite:

La definición es muy similar al límite de la definición de la derivada para una función de dos variables. Es importante considerar entonces que para una función de varias variables, no existe una sola derivada, pues la función cambia respecto a más de una. 

Afortunadamente existe un procedimiento más simple para derivar parcialmente que utilizar el límite. Éste método consiste en considerar la variable respecto a la que no se deriva como constante. Es decir, si se deriva respecto a x, la variable y será constante y viceversa. Por ejemplo la siguiente función:

Las dos derivadas parciales son:

En el primer caso se toma a y como constante y en el segundo se toma a x como constante. Existen derivadas parciales más complicadas que otras, sin embargo se aplican siempre las mismas reglas de derivación que con funciones de dos variables. 

Derivadas parciales indicadas

Las derivadas parciales indicadas son simplemente derivadas de orden superior, es decir, segundas derivadas, terceras derivadas, etcétera. Es igual de simple que en el cálculo de dos variables. Pero, las derivadas de segundo orden aumentan en número conforme se deriva. Por ejemplo, la derivada parcial de z respecto a x se puede derivar respecto a x y respecto a y, así mismo, cada una de estas segundas derivadas se pueden derivar de nuevo respecto a ambas posibilidades. Para la primera derivada respecto a y ocurre lo mismo. 

La notación es la siguiente:

Las anteriores son la derivada de la derivada de z respecto a x, nuevamente respecto a x (arriba). L segunda es la derivada de la derivada de z respecto a y, nuevamente respecto a y (abajo). 

Las anteriores son la derivada de la derivada de z respecto a x, ahora respecto a y (arriba). La segunda es la derivada de la derivada de z respecto a y, ahora respecto a x (abajo). 

Así pueden formarse infinitas derivaciones. Se tomará como ejemplo la función anterior por simplicidad. Las segundas derivadas son:

Para esta función particular, las segundas derivadas parciales son constantes. 

Regla de la cadena

La regla de la cadena en funciones de varias variables es un tanto diferente a como se usa en cálculo de dos variables. Se aplicará cuando se tenga lo siguiente:

La anterior es una función de tres variables. Las variables x y y son independientes, sin embargo ambas dependen de otra variable genérica llamada t. Para este caso, la regla de la cadena arroja una derivada total, denotada así:

Por ejemplo la función siguiente: 

Se recomienda comenzar encontrando las derivadas necesarias para después completar el teorema anterior:

El siguiente paso es completar el teorema inicial y sustituir los valores de x y y por sus funciones respecto a t:

La anterior es la derivada total de z respecto a t. 

Derivadas parciales de segundo orden 

Considera una función con una entrada bidimensional, como

$f(x, y) = x^2 y^3$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, cubed.

Sus derivadas parciales $\dfrac{\partial f}{\partial x}$start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction y $\dfrac{\partial f}{\partial y}$start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, toman la misma entrada bidimensional $(x, y)$left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis:

$\begin{aligned} &\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} = \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 y^3) = 2\blueE{x} y^3 \\\\ &\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} = \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 \redE{y}^3) = 3x^2 \redE{y}^2 \end{aligned}$

Por lo tanto, también podríamos tomar las derivadas parciales de las derivadas parciales.

Estas se llaman derivadas parciales de segundo orden, y la notación que se usa para describirlas es análoga a la notación $\dfrac{d^2 f}{dx^2}$start fraction, d, squared, f, divided by, d, x, squared, end fraction para la segunda derivada ordinaria de una función de una sola variable:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x}^2} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x} \partial \redE{y}} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y} \partial \blueE{x}} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y}^2} \end{aligned}$

Si se usa la notación $f_x$f, start subscript, x, end subscript para la derivada parcial (con respecto a $x$x en este caso), las derivadas parciales de segundo orden también se pueden escribir así:

$\begin{aligned} (f_\blueE{x})_\blueE{x} &= f_{\blueE{x}\blueE{x}} \\\\ (f_\redE{y})_\blueE{x} &= f_{\redE{y}\blueE{x}} \\\\ (f_\blueE{x})_\redE{y} &= f_{\blueE{x}\redE{y}} \\\\ (f_\redE{y})_\redE{y} &= f_{\redE{y}\redE{y}} \end{aligned}$

Las derivadas parciales de segundo orden que involucran variables distintas de entrada, tales como $f_{\redE{y}\blueE{x}}$f, start subscript, start color #bc2612, y, end color #bc2612, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end subscript y $f_{\blueE{x}\redE{y}}$f, start subscript, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end subscript, se conocen como "derivadas parciales mixtas".

Ejemplo 1: el árbol completo

Problema: encuentra todas las derivadas parciales de segundo orden de $f(x, y) = \sin(x)y^2$f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, y, squared

Solución: primero, encuentra ambas derivadas parciales:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} (\sin(\blueE{x})y^2) &= \cos(\blueE{x})y^2 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} (\sin(x)\redE{y}^2) &= 2\sin(x)\redE{y} \end{aligned}$

Luego escribe ambas derivadas parciales para cada una:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\cos(\blueE{x})y^2) = -\sin(\blueE{x})y^2 \\\\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(2\sin(\blueE{x})y) = 2\cos(\blueE{x})y \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\cos(x)\redE{y}^2) = 2\cos(x)\redE{y} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(2\sin(x)\redE{y}) = 2\sin(x) \end{aligned}$

$\begin{array}{ccccccc} &\large\sin(x)y^2 \\\\ &\small\dfrac{\partial}{\partial x}\large\swarrow\quad\searrow\small\dfrac{\partial}{\partial y} \\\\ &\large\cos(x)y^2\qquad\qquad\qquad 2\sin(x)y \\\\ \small\dfrac{\partial}{\partial x}\large\swarrow&\large\searrow\small\dfrac{\partial}{\partial y}\qquad\qquad\qquad\dfrac{\partial}{\partial x}\large\swarrow&\large\searrow\small\dfrac{\partial}{\partial y} \\\\ \large\sin(x)y^2&\large\maroonD{\underbrace{\blueE{2\cos(x)y\qquad2\cos(x)y}}_{\text{¡Derivadas parciales mixtas son iguales!}}}&\large2\sin(x) \end{array}$

La simetría de las derivadas de segundo orden

En el ejemplo de arriba, observa que las dos derivadas parciales mixtas $\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, x, \partial, y, end fraction y $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, y, \partial, x, end fraction son iguales. Esto no es una coincidencia: sucede para casi cualquier función que encontrarás en la práctica. Por ejemplo, observa lo que sucede con el término general de un polinomio, $x^n y^k$x, start superscript, n, end superscript, y, start superscript, k, end superscript:

$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(k \blueE{x}^n \redD{y}^{k-1}) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}(n \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^k) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \end{aligned}$

Técnicamente, la simetría de las derivadas de segundo orden no siempre es verdadera. Existe un teorema, que se conoce como el teorema de Schwarz o de Clairaut, que establece que la simetría de las derivadas de segundo orden en un punto dado se satisface siempre cuando las derivadas parciales sean continuas alrededor de ese punto. Para entender bien qué significa esto, necesitamos saber algo de análisis real.

Siempre debes tener en cuenta que las excepciones existen, pero la simetría de las derivadas de segundo orden funciona para casi cualquier función "normal" que te vas a encontrar.