Longitud de arco

 Longitud de arco

La longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Las primeras mediciones se hicieron posibles a través de aproximaciones trazando un polígono dentro de la curva y calculando la longitud de los lados de éste para obtener un valor aproximado de la longitud de la curva. Mientras se usaban más segmentos, disminuyendo la longitud de cada uno, se obtenía una aproximación cada vez mejor.

 

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible, como lo muestra la siguiente figura:

 

 

 

Para determinar formalmente la longitud L del arco de una curva con ecuación Y = f (x) , comprendida entre los puntos A (a, f (a)) y B (b, f(b)) se considera la siguiente figura:

 Como se muestra, el arco AB se divide en n partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos. Por ejemplo, el segmento DE tendrá como longitud:

 

 

Si se aumenta indefinidamente el número de puntos de división, entonces las longitudes de los segmentos tienden a cero, por lo que el

 

 

resulta ser el arco AB , siempre que el límite exista.

 

Para expresar el límite como una integral se considera que la función Y = f (x)  sea continua y posea derivada continua en cada punto de la curva, desde A (a, f (a)) hasta B (b, f(b)). Luego, por el teorema del valor medio del cálculo diferencial, existe un punto D*(Xi*,Yi*) entre los puntos D y E de la curva, donde la tangente es paralela a la cuerda DE , esto es:

 

          

   es decir:

    

 

Así que: 

puede expresarse como:

 

 

que equivale a:

 

 

que como ya se sabe, corresponde a la definición de integral:

 

Nótese como la longitud de una curva no depende de la elección de los ejes coordenados. Si  puede expresarse como función de , entonces la longitud del arco está dada por:

  

 CONCLUSIÓN

 

La longitud del arco, de la curva f (x) comprendida entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida:

  Ejemplo 

Referencia

Miguel E. Schuls. (2020). Longitud de arco de una curva. 2020, de UNAM Sitio web: http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/matematicas_VI_12/Applets_Geogebra/longarco.html

Ecuación Paramétrica

 ✔¿Que es una ecuación paramétrica ? 

Si x e y son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces las ecuaciones x = x(t)   e   y = y(t)

se denominan ecuaciones paramétricas  y  t se llama parámetro. El conjunto de puntos (x, y) obtenidos a medida que t varía a lo largo del intervalo I se denomina gráfica de las ecuaciones paramétricas. La gráfica junto con las ecuaciones paramétricas se denomina asimismo curva paramétrica o curva plana, y se denota por C.

Referencia

Juan Carlos Beltrán Beltrán. (2020). Ecuaciones Paramétricas . 2022, de Calculo 21 Sitio web: https://calculo21.com/ecuaciones-parametricas/

Función

✔¿Qué es una función?

Una función matemática es una relacion que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio. 

Una función matemática es una relacion que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio. Por lo tanto, dados un conjunto A y un conjunto B, una función es la asociación que se produce cuando a cada elemento del conjunto A (el dominio) se la asigna un único elemento del conjunto B (el codominio). Al elemento genérico del dominio se lo conoce como variable independiente; al elemento genérico del codominio, como variable dependiente. Esto quiere decir que, en el marco de la función matemática, los elementos del codominio dependen de los elementos del dominio.

📌

Ejemplo 

Referencias

Julián Pérez Porto y Ana Gardey. (2017). Función Matemática. 2021, de Definicion.de Sitio web: https://definicion.de/funcion-matematica/